链-环图最短变换的近似精确线性复杂度算法

“基因组结构”是一个带标号的有向图，其顶点度为 1 或 2。固定一组作用于此类图上的操作，每个操作具有某一严格为正数的代价。“变换问题”如下：对给定结构 a 和 b 及给定代价，寻找将 a 变换为 b 的最小总代价操作序列（“a 到 b 的最短变换”）。每个操作对应一个“事件”，即通过对图执行某一操作而引起的图的变化。赋予不同代价的可能性在应用中很重要，因为它允许区分频繁与罕见事件。显然，任意代价使问题成为 NP-难的，这导致若问题由线性或至少多项式算法求解（假设 P ≠ NP），则从一种代价限制过渡到另一种并非平凡。我们提出一种新颖的线性时间与空间算法，构造将 a 变换为 b 且总代价接近或等于绝对最小值的操作序列。具体而言，若所有所谓 DCJ 操作具有相同代价 w，且若删除与插入的代价均大于 w 或均小于 w，则算法输出将 a 变换为 b 的总代价与绝对最小值相差至多 2w（前一种情况）或与之相等（后一种情况）的变换。在某些情况下，算法输出精确解，例如环形基因组结构的情况。删除与插入代价的限制条件可省略（尽管下述证明未包含此一般情况）。