AMPS：用于主子矩阵更新的增广矩阵方法及其在电网中的应用

我们提出了 AMPS，一种增广矩阵方法，用于在矩阵被主子矩阵内的少量元素修改时更新线性方程组的解。该问题出现在电网的动态安全分析中，其中操作员需要执行 N - k 事故分析，即确定当 N 个链路中恰好有 k 个发生故障时系统的状态。我们的算法对矩阵进行增广以反映其中的变化，然后在不重新分解修改后的矩阵的情况下计算增广系统的解。我们提供了两种算法，一种直接方法和一种混合直接-迭代方法，用于求解增广系统。我们还利用矩阵和向量的稀疏性来加速整体计算。我们分析了两种算法的时间复杂度，并证明其受限于由稀疏右侧向量中的非零元素所选择的 Cholesky 因子中部分列的非零元素数量。我们在三个电网上将我们的算法与 PARDISO（一种并行直接求解器）和 CHOLMOD（一种能够修改矩阵 Cholesky 因子的直接求解器）进行了比较。结果表明，我们的增广算法优于 PARDISO（快两个数量级）和 CHOLMOD（快达 5 倍）。此外，随着更新元素数量的增加，我们的算法比 CHOLMOD 具有更好的可扩展性。计算出的解具有高精度。我们的算法能够在 77.8 万节点的电网上执行 N - k 事故分析，在 Intel Xeon 处理器上仅需 16 毫秒即可更新包含 k = 20 个元素的解。