利用子集查询求解命中集的近似最优查询算法

在查询模型中通过子集查询预言机访问超图的前提下，我们给出了命中集（Hitting-Set）的亚线性时间算法，其参数化查询复杂度几乎紧。在参数化查询复杂度中，我们基于参数 $k$（即命中集的大小）来估计对预言机的查询次数。本文使用的子集查询预言机称为广义 $d$-部独立集查询预言机（Generalized $d$-partite Independent Set query oracle，GPIS），由 Bishnu 等人（ISAAC'18）引入。GPIS 是 Beame 等人（ITCS'18 和 TALG'20）为估计图中边数而引入的二部独立集查询预言机（Bipartite Independent Set query oracle，BIS）在超图上的推广。形式上，GPIS 定义如下：对于 $d$-一致超图 $\mathcal{H}$，GPIS 预言机输入 $\cal H$ 中 $d$ 个两两不交的非空顶点子集 $A_1, \ldots, A_d$，并回答 $\mathcal{H}$ 中是否存在一条超边与每个集合 $A_i$（$i \in \{1, \, 2, \, \ldots, d\}$）均相交。当 $d=2$ 时，GPIS 预言机即为 BIS 预言机。我们证明，$d$-命中集（$d$-uniform 超图的命中集问题）可使用 $\widetilde{\mathcal{O}}_d(k^{d} \log n)$ 次 GPIS 查询求解。此外，我们还证明了 $d$-判定命中集（$d$-命中集的判定版本）可用 $\widetilde{\mathcal{O}}_d\left( \min \left\{ k^d\log n, k^{2d^2} \right\} \right)$ 次 {\sc GPIS} 查询求解。我们以几乎匹配的参数化下界补充了这些上界：任何求解 $d$-判定命中集的算法都需要 $\Omega \left( \binom{k+d}{d} \right)$ 次 GPIS 查询。