克服控制理论等中若干哈密顿-雅可比方程维度灾难的算法

众所周知，含时哈密顿-雅可比-艾萨克斯偏微分方程（HJ PDE）在分析连续动态博弈与控制理论问题中起着重要作用。当这类问题涉及几何运动时，水平集方法是一个重要工具。该方法最初用于可达性问题。这些算法以及事实上所有PDE数值近似的成本在空间维度和时间上均呈指数增长。在本工作中，我们提出并测试了求解与最优控制问题相关的一大类HJ PDE的方法，无需使用网格或数值近似。而是使用经典的Hopf公式来求解HJ PDE的初值问题。我们注意到，若哈密顿量凸且为正一次齐次的，则存在非常快速的方法来求解由此产生的优化问题。这与基于 $\ell_1$ 优化的压缩感知中问题的快速求解方法密切相关。我们似乎获得了维度上多项式的方法。我们的算法非常快，需要极低内存且完全可并行化。在笔记本电脑上，我们能在极高维下以每次评估 $10^{-4}$ 到 $10^{-8}$ 秒计算解及其梯度。我们仔细解释了一类最优控制问题中，如何由相关初值HJ-PDE的数值解来数值计算最优控制。我们展示了我们的算法计算了轻松获得控制器所需的所有量。“维度灾难”一词由Richard Bellman于1957年在考虑动态优化问题时提出。