基于 Moreau 包络差平滑的差分凸（DC）规划算法

本文考虑带与不带线性约束的差分凸（DC）函数的最小化。我们首先研究一类通用 DC 函数的平滑近似，称为 Moreau 包络差（DME）平滑，其中 DC 函数的两个分量均被各自的 Moreau 包络替代。所得到的平滑近似被证明是 Lipschitz 可微的，能捕捉原 DC 函数的驻点、局部与全局极小值，并对广泛类别的 DC 函数满足某些增长条件，如水平有界性与强制性。随后我们基于 DME 平滑开发了四种求解带与不带线性约束 DC 规划的算法。特别地，对于无线性约束的平滑 DC 规划，我们证明经典梯度下降法及其不精确变体可在极限处获得驻点解，收敛速率为 $\mathcal{O}(K^{-1/2})$，其中 $K$ 为两个分量的近端计算次数。此外，当 DC 规划显式约束于仿射子空间时，我们将平滑技术与增广拉格朗日函数结合，导出增广拉格朗日法（ALM）的两个变体，称为 LCDC-ALM 与复合 LCDC-ALM，侧重于 DC 目标函数的不同结构。我们证明两种算法均在 $\mathcal{O}(\epsilon^{-2})$ 次迭代内找到原 DC 规划的 $\epsilon$-近似驻点解。与现有为线性约束弱凸最小化设计的方法相比，所提基于 ALM 的算法可应用于更广泛的问题类，其中目标函数含有非光滑凹分量。最后，给出数值实验以展示所提算法的性能。