带松弛邻域约束的图上背包问题

在之前研究的背包问题中包含邻域约束的情况下，输入是一个在物品集合 $\mathcal{V}$ 上的图 $\mathcal{G}$，每个物品 $v \in \mathcal{V}$ 有权重 $w_v$ 和利润 $p_v$，背包的大小 $s$，以及需求 $d$。目标是计算是否存在总权重最多为 $s$ 且总利润最多为 $d$ 的可行解。可行解是所有满足以下条件的物品子集 $\mathcal{S}$：对于 $\mathcal{S}$ 中的每个物品，要么其在 $\mathcal{G}$ 中的某个邻居也在 $\mathcal{S}$ 中，要么其所有邻居都在 $\mathcal{S}$ 中。我们研究上述问题的松弛版本。具体而言，我们允许所有物品子集作为可行解。然而，只有我们至少选择其某个邻居(对于有向图为后继邻居)或全部邻居的物品才计入利润，而每个被选物品都计入权重；我们称对应的问题为 \sor 和 \sand。我们证明即使在无向图上，\sor 和 \sand 也是强 \NPC。关于参数化复杂度，我们证明 \sor 和 \hor 均由背包大小 $s$ 参数化为 \WTH。有趣的是，\sand 和 \hand 均由背包大小 $s$ 加上利润需求 $d$ 以及由解的大小 $b$ 参数化为 \WOH。对于 \sor 和 \hor，我们提出一种基于随机着色的伪 \FPT 算法，由解的大小 $b$ 参数化，因而由需求 $d$ 参数化。随后我们考虑输入图的树宽作为参数，并为所有变体设计伪固定参数可解(\FPT)算法，由树宽 $\text{tw}$ 参数化。最后，我们给出 \sor 当每个顶点的权重和利润均为 $1$ 时的加法 $1$ 近似。