对抗风险与鲁棒性：通用定义及其在均匀分布下的含义

我们研究当实例在 $\{0,1\}^n$ 上均匀分布时的对抗扰动。我们既研究适用于任意问题及该问题任意分类器的“固有”界，也研究适用于特定问题及特定假设类的界。由于现有文献包含对抗风险与鲁棒性的多种定义，我们首先基于这些定义的目标给出其分类法，并识别出其中一种定义——通过将实例推至错误区域来保证误分类——作为保障。随后我们研究一些用于学习单调合取的经典算法，并利用均匀分布的实例攻击假设，比较它们在不同定义下的对抗风险与鲁棒性。我们观察到有时这些定义会导致显著不同的界。因此，本研究主张采用错误区域定义，尽管在其他语境下其他定义可能与错误区域定义一致。利用对抗扰动的错误区域定义，我们进而研究实例在 $\{0,1\}^n$ 上均匀分布的任意分类问题中任意分类器的风险与鲁棒性固有界。利用布尔超立方体的等周不等式，我们证明对于初始误差 $0.01$，总存在一种对抗扰动改变实例的 $O(\sqrt{n})$ 个比特，将风险提升至 $0.5$，使分类器决策失去意义。进一步，结合中心极限定理我们证明当 $n\to \infty$ 时，至多 $c \cdot \sqrt{n}$ 个比特的扰动（其中通用常数 $c< 1.17$）足以将风险提升至 $0.5$，且平均而言同样的 $c \cdot \sqrt{n}$ 个比特扰动足以将风险提升至 $1$，从而将鲁棒性界定为 $c \cdot \sqrt{n}$。