图中的加性基与流

Jaeger、Linial、Payan和Tarsi在1992年猜想：对于任意素数 $p$，存在常数 $c$，使得对于任意 $n$，任意一族 $c$ 个 $\mathbb{Z}_p^n$ 的线性基的向量之并（可重复）构成 $\mathbb{Z}_p^n$ 的一个加性基（即 $\mathbb{Z}_p^n$ 的任何元素均可表示为这些向量某个子集的和）。在本注记中，我们证明了当每个向量至多包含两个非零项时该猜想成立。作为一个应用，我们证明了关于高度边连通图中流的若干结果，推广了已知结论。例如，假设 $p\ge 3$ 为素数，且 $\vec{G}$ 是一个有向的高度边连通图，其中每条弧被赋予 $\mathbb{Z}_p$ 中两个不同值的列表。则 $\vec{G}$ 存在一个 $\mathbb{Z}_p$-流，其中每条弧被赋以其自身列表中的一个值。