自适应确有帮助：非自适应感知的 $l_0$ 代价的信息论极限

自适应和反馈的优势在信号处理和通信中备受关注，已有许多正面和负面结果。尽管已确立的是，在固定测量次数下，自适应并未在极大极小均方误差上带来显著减小，但现有结果表明，在感知能量受限的情况下，自适应在重构复杂度、支撑检测精度以及信噪比增益方面具有若干优势。感知能量通常用感知矩阵的弗罗贝尼乌斯范数来度量。本文采用一种不同的度量，我们称之为感知矩阵的 $l_0$ 代价，来量化感知的复杂度。因此稀疏感知矩阵具有更低的代价。我们推导了适用于任意非自适应感知策略的 $l_0$ 代价的信息论下界。我们证明，当测量次数限制在 $\Theta\left(\log_2 (N)\right)$ 时，任何非自适应感知策略在重构一个 $N$ 维单稀疏信号时都必须承受 $\Theta\left( N \log_2(N)\right)$ 的 $l_0$ 代价。相比之下，二分类型的自适应策略在同等测量次数下仅需至多 $\mathcal{O}(N)$ 的 $l_0$ 代价。该问题可以有趣地解释为多维度空间中的球填充问题，其中所有球心具有最小非零坐标。我们还讨论了当测量次数从 $\Theta\left(\log_2 (N)\right)$ 增加到 $\Theta\left(N\right)$ 时 $l_0$ 代价的变化。