面向集值观测的自适应滤波算法——基于对称测量的无标签与匿名化数据处理方法

假设$L$个同时独立的随机系统产生观测，其中每个系统的观测依赖于该系统的底层参数。这些观测是无标签（匿名化）的，即分析者不知道哪个观测来自哪个随机系统。分析者如何估计这$L$个系统的底层参数？由于在每一时刻的匿名化观测是$L$个测量的无序集合（而非向量），经典的随机梯度算法无法直接应用。利用对称多项式，我们构建了一个对称测量方程，将观测集合映射为一个唯一向量。借助多变量多项式的代数环在单变量多项式环上是唯一分解域这一事实，我们构造了一种自适应滤波算法，可给出底层参数的统计一致估计。我们分析了这些估计的渐近协方差以量化匿名化的影响。最后，我们根据最大后验贝叶斯估计器的误差概率刻画了观测的匿名性。利用均值保持展形的Blackwell占优，我们构造了噪声密度的偏序，将观测的匿名性与自适应滤波算法的渐近协方差联系起来。