用于非平稳时间序列的带移动估计器的自适应指数幂分布

虽然标准估计假设所有数据点均来自参数 $\theta$ 相同且固定的概率分布,我们将聚焦于非平稳时间序列的最大似然(ML)自适应估计:基于较早的值 $(x_t)_{t<T}$,利用(指数)移动 ML 估计器 $\theta_T=\arg\max_\theta l_T$(其中 $l_T=\sum_{t<T} \eta^{T-t} \ln(\rho_\theta (x_t))$,且某 $\eta\in(0,1]$)为每个时间 $T$ 分别估计参数 $\theta_T$。这种移动估计器的计算成本通常高得多,因为我们需要多次优化对数似然,但在许多情况下可借助依赖性变得低廉。我们聚焦于这样一个例子:$\rho(x)\propto \exp(-|(x-\mu)/\sigma|^\kappa/\kappa)$ 指数幂分布(EPD)族,它涵盖了如高斯($\kappa=2$)或拉普拉斯($\kappa=1$)分布等广泛的尾部行为。它对于尺度参数 $\sigma$ 的自适应估计也很方便,因为其标准 ML 估计为 $\sigma^\kappa$ 是平均 $\|x-\mu\|^\kappa$。只需将平均替换为指数移动平均:$(\sigma_{T+1})^\kappa=\eta(\sigma_T)^\kappa +(1-\eta)|x_T-\mu|^\kappa$,我们就能低廉地使其自适应。它在 DJIA 成分股的日对数收益序列上进行了测试,与标准(静态)估计相比获得了本质更好的对数似然,且最优 $\kappa$ 尾部类型在各公司间变化。所提出的通用替代估计哲学提供了可能有助于构建更好模型以分析非平稳时间序列的工具。