连续无可微多变量函数

设 $U$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的开集。若连续函数 $f\colon U \to \mathbb{R}$ 在每个 $\gamma\in(0,1]$ 以及每个单位速度 $C^{1,\gamma}$ 曲线 $c\colon [a,b] \to U$ 上，构成 $f\circ c \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ 在 $(a,b)$ 上无可微，则称 $f$ 在 $U$ 上强意义下无可微。在有界 $U$ 中，设 $\overline U$ 为 $U$ 的闭包，$C(\overline U)$ 为在 $\overline U$ 上连续实值函数的巴拿赫空间，配以极大范数。定理：按照巴耳 category 定理的意义上，几乎每个 $f\in C(\overline U)$ 在 $U$ 上强意义下无可微。