两阶段多重分类的可达错误指数

我们重新审视 Gutman (TIT 1989) 的 $M$ 元分类问题，其任务是判断一个测试序列是否与 $M$ 个训练序列中的某一个由相同分布生成。我们的主要结果是一个两阶段检验、其理论分析及其最优性保证。具体而言，我们的两阶段检验是一种仅有两个决策时间点的序贯检验的特例：检验的第一阶段是带拒绝选项的定长检验，第二阶段仅当第一阶段决定拒绝时才进行，且第二阶段不允许拒绝选项。为给检验提供理论保证，我们利用类型法推导了可达错误指数，并借助 Hsu、Li 和 Wang (ITW, 2022) 最近提出的针对二元分类的技术推导了最优序贯检验的逆定理。通过解析与数值方法，我们表明在适当选择检验参数时，我们的两阶段检验可达到最优序贯检验的性能。特别地，与最优序贯检验类似，我们的检验无需最终拒绝选项即可达到最优错误指数区域，而最优定长检验需要拒绝选项才能达到同一区域。最后，我们将结果特化到 $M=2$ 时的二元分类，以及当训练序列与测试序列长度之比趋于无穷（从而可完美估计生成分布）时的 $M$ 元假设检验。