自回归时间序列的累积预测误差、信息准则与最优预测

本文研究了 Rissanen 累积预测误差（APE）准则的修正形式 APE$_{\delta_n}$ 在无穷阶自回归（AR($\infty$)）模型中的预测能力。APE$_{\delta_n}$ 并非从起始阶段累积顺序预测误差的平方，而是从阶段 $n\delta_n$ 开始求和这些平方误差，其中 $n$ 为样本量，$1/n\leq \delta_n\leq 1-(1/n)$ 可依赖于 $n$。在某些正则性条件下，推导了由 APE$_{\delta_n}$ 确定阶数的 AR 预测器的均方预测误差（MSPE）的渐近表达式。该表达式表明，APE$_{\delta_n}$ 的预测性能随 $\delta_n$ 的选择不同而剧烈变化。另一个有趣的发现是，当 $\delta_n$ 以特定速率趋近于 1 时，APE$_{\delta_n}$ 在大多数实际情况下可实现渐近有效性。从 MSPE 的角度，还建立了 APE$_{\delta_n}$ 与带有合适惩罚项的信息准则之间的渐近等价性。这为理解基于信息和基于预测的模型选择准则提供了新视角。最后，我们针对基础 AR($\infty$) 模型退化为有限阶自回归的情况，给出了首个渐近有效性结果。