利用傅里叶神经算子加速非线性椭圆偏微分方程牛顿法的收敛
数值分析
2024-12-10 v2 数值分析
摘要
众所周知，如果初始猜测离解太远，牛顿法可能会难以收敛。当该方法用于求解通过有限差分离散化的非线性椭圆偏微分方程 (PDE) 时，尤其会出现此类问题。本工作专注于在此背景下加速牛顿法的收敛。我们试图构建一个从非线性 PDE 参数到其离散解近似值的映射，且该映射独立于网格分辨率。然后将此近似值用作牛顿法的初始猜测。为实现这些目标，我们选择使用傅里叶神经算子 (FNO)。损失函数是数据项（即已知解与 FNO 输出之间的比较）和物理项（即 PDE 离散化的残差）之和。一维和二维的数值结果表明，与朴素的初始猜测相比，所提出的初始猜测大幅加速了牛顿法的收敛，特别是对于高度非线性和各向异性问题，且在粗网格上增益更大。
引用
@article{arxiv.2403.03021,
title = {Accelerating the convergence of Newton's method for nonlinear elliptic PDEs using Fourier neural operators},
author = {Joubine Aghili and Emmanuel Franck and Romain Hild and Victor Michel-Dansac and Vincent Vigon},
journal= {arXiv preprint arXiv:2403.03021},
year = {2024}
}