二元信任八卦模型的吸收态由平面分拆计数

我们研究了一个意见动态模型，其中$n$个智能体持有关于彼此的有向信任或不信任意见，表示为一个矩阵$M \in \{0,1\}^{n \times n}$，其中1表示信任，0表示不信任。一个八卦事件$(a, z, y)$导致智能体$z$采纳智能体$a$对$y$的意见，前提是$z$信任$a$。我们刻画了这个过程的吸收态，即无法再发生意见变化的状态：我们发现这些状态是智能体被划分为孤立派系的状态，每个派系包含一个相互信任的核心成员子集，而其余外围成员信任所有核心成员，但不获得任何回报信任。这种结构在$[n]$上的吸收态与由$[n]$的一个集合划分$\pi$以及每个派系$\pi$的一个非空子集选择组成的对之间建立了一个双射。因此，此类吸收态的数量由OEIS A143405给出，其指数生成函数为$\exp(\exp(x) \cdot (\exp(x) - 1))$。此外，在同构意义下，该计数等于$n$的平面分拆数量，由OEIS A000219给出，恢复了MacMahon的经典乘积公式$\prod_{k \geq 1} 1/(1 - x^k)^k$。对$n \leq 7$的穷举计算证实了这两个计数。