保测扩散的统一与典范描述
概率论
2021-05-07 v1 微分几何
机器学习
摘要
近期推导出了欧氏空间中保测扩散的完整构造，将若干 MCMC 算法统一到单一框架中。在本文中，我们发展了一种几何理论，改进并将该构造推广到任意流形。我们由此证明，完备性结果是底层流形拓扑与目标测度 所诱导几何的直接推论；无需引入其他结构，如黎曼度量、局部坐标或参考测度。相反，我们的框架依赖于 的内在几何，特别是其典范导数——deRham 旋度（deRham rotationnel），它使我们能够利用势参数化保测扩散的 Fokker--Planck 流。该几何形式体系可轻松纳入约束与对称性，并给出新的重要见解，例如，一种适用于构造采样器的类 Langevin 扩散的完整新构造。我们还分析了扩散的可逆性与耗散性质、测度空间上相关的确定性流，以及 Langevin 过程的几何。本文联通了来自不同文献的思想，并将保测扩散理论置于恰当的数学语境中。
引用
@article{arxiv.2105.02845,
title = {A Unifying and Canonical Description of Measure-Preserving Diffusions},
author = {Alessandro Barp and So Takao and Michael Betancourt and Alexis Arnaudon and Mark Girolami},
journal= {arXiv preprint arXiv:2105.02845},
year = {2021}
}