从布尔曼运输到质子治疗计划的统一框架

本工作发展了一套严格的数学表述，通过整合确定性和随机视角来实现质子传输。确定性框架基于布尔曼-福克-普兰克方程，以适当的函数空间中的算子方程形式表述。随机方法通过track-length参数化扩散过程来建模质子演化，其无限小发生器提供了另一种传输描述。关键结果是通过transport operator与随机发生器之间的自身关系，建立了随机和确定性表述之间的二义性。我们证明了随机过程的迈文核对应于确定性方程的Green's函数，为流度基和粒子基传输描述提供了自然的链接。该理论应用于剂量计算，我们展示，经典关系：dose = (fluence * mass stopping power)在两种方法中都能一致地得到。基于这一基础，我们 formulate了一个混合优化框架用于治疗计划，其中剂量使用随机模型计算，而优化通过自身导数PDE方法进行。我们证明了目标函数的存在性和可微性，并推导了第一阶最优系统。该框架将随机仿真与确定性控制理论相结合，为未来在受限、自适应和不确定性感知优化方面的工作提供了基础。