正则化引理的度松弛下塔状下界

众所周知,若 $(A,B)$ 为 $\tfrac{\varepsilon}{2}$-正则配对(按 Szemer\'edi 的定义),则存在子集 $A'\subset A$ 和 $B'\subset B'$ 使得 $|A'|\leq \varepsilon|A|$ 且 $|B'|\leq \varepsilon|B|$,且 $A\setminus A'$ 中所有顶点的度差至多为 $\varepsilon|B|$，$B\setminus B'$ 中所有顶点的度差至多为 $\varepsilon|A|$。我们称此性质为 "$\varepsilon$-度正则"。这引出了类似于 $\varepsilon$-正则配对导致 $\varepsilon$-正则分区定义方式的 "$\varepsilon$-度正则"分区概念。我们证明存在图使得任何 $\varepsilon$-度正则分区都需要包含 $\mathrm{tower}(\Theta(\varepsilon^{-1/3}))$ 个簇。即便如此,度正则是正则性的强烈松弛,一般情况下仍无法在 Szemer\'edi 正则化引理的下界上作显著改进。