关于粗糙边界数据泊松方程混合有限元方法的数值分析

本文关注具有粗糙边界数据的泊松方程有限元方法。常规方法要求边界数据 $g$ 属于 $H^{1/2} (\partial \Omega)$。然而，在许多实际应用中，仅需考虑 $g$ 属于 $L^2(\partial \Omega)$ 的情况。为此，考虑非常弱解以建立问题的良定性。大多数先前提出的数值方法使用边界数据的正规化。本文的主要目的是直接求解具有粗糙边界数据的泊松方程，采用Raviart--Thomas混合有限元方法。我们证明了该混合方法的解收敛于非常弱解。特别地，我们证明了数值解在凸域上的收敛率为 $O(h^{1/2})$，在非凸域上的收敛率为 $O(h^{s-1/2})$，其中 $s > 1/2$ 取决于域的几何形状。该分析基于正规化方法和对相应对偶问题的严格估计。数值实验确认了本文提出的混合方法对于具有粗糙边界数据的泊松方程的数值分析所预测的收敛率。