一种针对 ${\mathcal L}_\infty$ 模型降阶的子空间框架

我们考虑在 ${\mathcal L}_\infty$ 范数意义下，为一个大阶 descriptor 系统寻找给定降阶阶数的最近邻 descriptor 系统的问题。对于这一 ${\mathcal L}_\infty$ 模型降阶问题，广泛采用的平衡截断与最佳 Hankel 范数逼近等方法通常代价高昂，且给出的解并非最优，甚至不是局部最优。我们提出基于光滑优化技术最小化 ${\mathcal L}_\infty$ 目标函数的方法。正如我们所说明的，直接应用光滑优化技术并不可行，因为这些优化技术最多以线性速率收敛，需要过多地计算代价高昂的 ${\mathcal L}_\infty$ 范数目标函数才能实用。我们用一个在虚轴上若干点插值原系统的小阶系统替换原大规模系统，并在替换后最小化 ${\mathcal L}_\infty$ 目标函数。该小阶系统通过在基于 ${\mathcal L}_\infty$ 目标函数局部极小点所确定的附加虚轴点处进行插值而得以精化，并重复优化。我们论证了该框架在光滑性与非退化假设下以二次速率收敛，并描述了如何将所求降阶系统的渐近稳定性约束纳入我们的方法。在基准算例上的数值实验表明，该方法能得到 ${\mathcal L}_\infty$ 模型降阶问题的局部最优解，且对于阶数为数万的 descriptor 系统收敛迅速。