从线性动力学视角对 Bishop 算子的研究

本文从线性动力学的视角研究 $L ^ p ([0, 1])$ 上所谓的 Bishop 算子 $T _ \alpha$,其中 $\alpha \in (0, 1)$ 且 $1 < p < + \infty$。我们证明它们既不是超循环的也不是上超循环的,并将这些结果推广到加权平移算子的情况。随后我们研究 Bishop 算子 $T _ \alpha$ 的循环性。基于 Chalendar 和 Partington 在 $\alpha$ 为有理数时的结果,我们证明 $T _ \alpha$ 对稠密的 $G _ \delta$ 集的无理 $\alpha$ 是循环的,讨论循环函数,并给出由 $\alpha \in \mathbf R \backslash \mathbf Q$ 的渐近分数表达的条件,这些条件蕴含某些函数是循环的。