关于球、随机性与偏微分方程的一个故事

数学物理中常见的若干微分方程通过幂级数展开求解，这归结为求解差分方程。本文提出一个概率问题，其解遵循完全相反但系统化的途径。因此，本工作旨在阐明如何用研究更充分且理解更透彻的微分方程领域中的更强技术来处理复杂概率问题。问题定义如下：在一个装有 r 个红球与 w 个白球的盒子中发生随机移除。球依据以下三条规则依次被移除。规则 I：若选中白球则立即丢弃。若选中红球，则将其放回盒中并随机选取一个新球。随后第二个球被移除，不论颜色。规则 II：一旦移除一球，游戏从规则 I 继续。规则 III：一旦所有红球被移除，游戏结束。所提问题为确定剩余 k 个白球的概率，其中 k = 0, 1, 2, ..., w。一旦所有白球被移除则结束游戏，第二个问题为确定剩余 k 个红球的概率，其中 k = 0, 1, 2, ..., r。尽管归纳解法可行，当前方法展示了一种不同且算法化的路径。特别地，全概率定律给出一个递归，其被转化为带适当边界条件的线性非齐次二维偏微分方程 (PDE)。解析求得的 PDE 解给出了所需概率关于 r、w 与 k 的生成泛函。利用泛函，最终得到了任意 r、w 与 k 的概率公式的封闭形式。该方法重现了文献中已有结果，且相当通用并适用于一大类问题。