用于研究纳米尺度滚动摩擦的普朗特-汤姆林森模型简单推广

普朗特-汤姆林森（Prandtl-Tomlinson, PT）模型在解释多种情形下的纳米尺度摩擦方面非常成功。然而，简化的 PT 模型由于将一个质点拖过正弦力场，无法用于研究纳米尺度的滚动摩擦。在本文中，我们将 PT 模型推广为一组排列在半径为 $R$ 的圆上的质点集合。所得“刚体”在阻尼存在下，由连接刚体质心、刚度为 $k$ 的运动弹簧驱动于复合力场中。该力场是 PT 模型中熟悉的正弦函数与参数控制（$\lambda$）的、依赖于质点竖直坐标的指数变化函数的乘积。若 $R \ll 1$ 且 $\lambda \to 0$，我们的推广模型退化为标准 PT 模型。当 $R \sim 1$ 且 $\lambda \to 0$ 时，随着 $k$ 增大至临界值，模型经历从黏滞动力学到平滑动力学的转变。解析表达式与模拟结果吻合良好。对 $\lambda \neq 0$ 也推导了类似的解析表达式。在此情形下，黏滞动力学在 $x$ 和 $y$ 方向均出现，且我们的数值结果与 $x$ 方向的解析解一致。对 $R \sim 1$ 且 $\lambda \neq 0$ 一般情形进行的数值动力学研究，揭示了纳米尺度摩擦学的若干有趣方面，包括摩擦能量耗散最小的区间。此外，我们提出模型的结果也与分子动力学（MD）模拟在定性上一致。我们相信，模型的简洁性及其与 PT 模型的相似性，可使其成为分析复杂纳米摩擦学区间的常用工具。