基于 Hopf-Lax 型公式的流形上最优路径规划的可扩展方法

我们考虑在作为光滑函数图像的流形上的最优路径规划问题。最优路径规划对于运动规划、图像处理和统计分析至关重要。在这项工作中，我们考虑一个位于光滑函数图像上的粒子，它寻求以最短时间从流形上的某一起点导航至另一点。我们使用最优控制理论、动态规划原理和 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程对该问题进行建模。然后，我们设计了一种受原始-对偶混合梯度启发的新颖算法，该算法基于广义 Hopf-Lax 型公式高效求解。我们展示了证明该算法有效性和效率的示例。最后，我们证明，由于该算法不依赖于求解偏微分方程的基于网格的数值方法，因此它能很好地扩展至高维问题。