针对多项式 Lipschitz 函数的伪随机生成器及其在稀疏割问题中的应用

我们提出了改进的伪随机生成器（PRG），用于超立方体上低次多项式的 Lipschitz 函数。这类函数形式为 $\psi(P(x))$，其中 $P$ 是低次多项式，$\psi$ 是具有小 Lipschitz 常数的函数。针对低次多项式光滑函数的 PRG 最近受到了广泛关注，并在构造针对自然类多项式阈值函数的 PRG 中发挥着重要作用。尽管近期取得了进展，但对于欺骗次数为 $O(\log n)$ 的多项式的 Lipschitz 函数，即使对于常数错误率，也尚未知晓任何非平凡的 PRG。在本工作中，我们给出了首个此类生成器，其种子长度为 $(\log n)\tilde{O}(d^2/\epsilon^2)$，用于欺骗次数为 $d$、错误率为 $\epsilon$ 的多项式。此前的生成器在次数上具有指数依赖性。我们利用该 PRG 获得了稀疏割问题更好的整数性间隙实例；稀疏割是图论中的一个基本问题，在图优化中有许多应用。我们给出了一个均匀稀疏割实例，对于该实例，由 Goemans 和 Linial 首次引入并由 Arora、Rao 和 Vazirani 在其开创性工作中研究的强大半定规划松弛（SDP）具有 $\exp(\Omega((\log \log n)^{1/2}))$ 的整数性间隙。理解 Goemans-Linial SDP 在均匀稀疏割问题上的性能是近似算法和度量嵌入中的一个重要开放问题，我们的工作将此前的下界（间隙为 $\Omega(\log \log n)$）提高了近指数倍。