无限维线性代数的实用框架

我们描述了一个求解广泛类别无限维线性方程的框架，该类别由几乎带状算子组成，可用于表示具有通用边界条件的线性常微分方程。该框架包含一种数据结构，可在其上执行行操作，从而允许通过自适应 QR 方法求解线性方程。该算法实现了 $O(n^{\rm opt})$ 的复杂度，其中 $n^{\rm opt}$ 是为达到所需精度所需的自由度数量，该数量由自适应确定。此外，特殊的张量积方程（如矩形区域上的偏微分方程）可以通过在 $y$ 方向截断算子（具有 $n_y$ 个自由度）并使用广义 Schur 分解将其上三角化，然后对 $x$ 方向应用自适应 QR 方法来求解，这需要 $O(n_y^2 n_x^{\rm opt})$ 次运算。该框架实现在用 Julia 编程语言编写的 ApproxFun 包中，通过利用 Julia 的独特功能实现了极具竞争力的计算成本。