一种并行向量形式$LDL^\top$分解用于加速执行时间认证的$\ell_1$惩罚软约束MPC

处理可能的不可行性并提供执行时间证书是实时模型预测控制（MPC）的两个紧迫要求。为了同时满足这两个要求，本文提出了一种$\ell_1$惩罚软约束MPC公式，该公式全局可行，并且使用我们提出的算法可提供执行时间证书。本文首次证明$\ell_1$惩罚软约束MPC问题可以等价转化为一个箱约束二次规划（Box-QP），然后可以应用我们之前仅限Box-QP的执行时间证书算法\cite{wu2023direct}。然而，我们之前的Box-QP算法\cite{wu2023direct}虽然提供了理论上的执行时间证书，但其迭代分析保守，从而牺牲了计算效率。为此，本文首次提出了一种新颖的$LDL^\top$分解，以加速每次迭代中牛顿步的计算。我们的$LDL^\top$分解的加速来自两个方面：\textit{i)}利用在压缩MPC公式中不等式约束的数量通常大于变量数量的事实；\textit{ii)}基于向量化操作的向量化和并行实现，而不是先前分解方法的元素级操作。数值实验展示了所提出的$LDL^\top$分解的巨大加速（与标准Cholesky方法相比甚至高达1000倍），从而帮助我们的求解器达到与最先进求解器（如IPOPT和OSQP）相当的计算性能。代码可在\url{https://github.com/liangwu2019/L1-penalty-QP}获取。