基于辅助方程神经网络的非线性偏微分方程精确显式解新方法
机器学习
2025-08-26 v1
摘要
本研究首先提出了一种辅助方程神经网络方法（AENNM），这是一种创新的解析方法，将神经网络（NN）模型与辅助方程法相结合，以获得非线性偏微分方程（NLPDEs）的精确解。该方法的关键创新点在于引入一种源自鲍利希方程解的新型激活函数，建立了微分方程理论与深度学习之间的新型数学联系。通过将神经网络的强大逼近能力与符号计算的高精度相结合，AENNM显著提升了计算效率和准确性。为展示AENNM解决NLPDEs效果，本文考察了三个数值案例，包括非线性演化方程、科尔韦-德维斯-布尔格方程（Korteweg-de Vries-Burgers equation）以及（2+1）维博恩斯基方程。进一步构建了通过设定特定激活函数于“2-2-2-1”和“3-2-2-1”神经网络模型中所构建的若干新试函数。通过将辅助方程法嵌入神经网络框架，本文推导出此前未报告的解。其精确解析解以双曲函数、三角函数和有理函数表达式。最后，本文绘制了三维图、等值线图和密度图，以阐明所得解的动力学特征。该研究为解决NLPDEs提供了新颖的方法论框架，具有广泛的科学与工程应用前景。
引用
@article{arxiv.2508.16702,
title = {A novel auxiliary equation neural networks method for exactly explicit solutions of nonlinear partial differential equations},
author = {Shanhao Yuan and Yanqin Liu and Runfa Zhang and Limei Yan and Shunjun Wu and Libo Feng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.16702},
year = {2025}
}