关于 Wall 的 Schur 算法修正与 Jacobi 矩阵线性束的注记

在本文中，我们重新审视由 H. S. Wall 引入的一个变换，该变换在 Schur 函数、Carathéodory 函数和 Nevanlinna 函数的连分数表示之间建立了一一对应关系。该变换可被视为 Szegő 映射的类比，但它基于将上半平面与单位圆联系起来的 Cayley 变换。例如，我们将证明，当应用 Wall 变换时，得到的不是 OPRL，而是满足形如 $(H-\lambda J)u=0$ 的三项递推关系的正交有理函数序列，其中 $u$ 是一个半无穷向量，其元素为这些有理函数。此外，$J$ 和 $H$ 是 Hermite Jacobi 矩阵，对于它们，Denisov-Rakhmanov 定理的一个版本成立。最后，我们将展示伪 Jacobi 多项式（又名 Routh-Romanovski 多项式）如何融入这一图景。