有向环游戏阈值偏置的一个非平凡上界

在由 Bollobás 和 Szabó 提出的有向环游戏中，两名分别称为 OMaker 和 OBreaker 的玩家交替为 $K_n$ 的边定向。OMaker 恰好为一条边定向，而 OBreaker 可以为一到 $b$ 条边定向。若最终的竞赛图包含有向环，则 OMaker 获胜，否则 OBreaker 获胜。Bollobás 和 Szabó 猜想，当偏置大到 $n-3$ 时，若 OBreaker 每轮必须恰好取 $b$ 条边，则 OMaker 拥有必胜策略。Ben-Eliezer、Krivelevich 和 Sudakov 最近证明了，只要 $b\leq \frac{n}{2}-2$，OMaker 即对该游戏拥有必胜策略。在本文中，我们证明了只要 $b\geq \frac{5n}{6}+2$，OBreaker 即拥有必胜策略。此外，在要求 OBreaker 每步恰好为 $b$ 条边定向的情况下，我们证明了只要 $n$ 足够大，当 $b\geq \frac{19n}{20}$ 时 OBreaker 获胜。这反驳了 Bollobás 和 Szabó 的猜想。