古德斯坦定理的新证明

古德斯坦序列是一种数列，其中自然数 m 以给定底数 a 的完全范式表示，通过将底数 a 的值增加一个单位并从结果表达式中减去一个单位来进行修改。按最初定义，古德斯坦序列的第一项是 m 在底数 2 下的完全范式。古德斯坦定理指出，对于所有自然数，古德斯坦序列最终都会终止于零。古德斯坦定理最初是使用超限序数的良序性质证明的。利用超限归纳法和哥德尔第二不完备定理，还证明了该定理在PA（皮亚诺算术）中是不可证明的。本文描述了一阶算术中古德斯坦定理的一个证明，这与该定理在PA中的不可证明性相矛盾。该证明使用了数学归纳法，并（通过超指数函数）应用于古德斯坦序列的推广版本。这样的证明证明了经典集合论的不一致性，更准确地说是策梅洛-弗兰克尔公理与选择公理的组合（ZFC）的不一致性。