一种用于从质子结构函数获取胶子分布的逆拉普拉斯变换新数值方法

我们近期推导出一种极为精确且快速的新算法，用于数值求解从质子结构函数 $F_2^{\gamma p}(x,Q^2)$ 获取胶子分布所需的逆拉普拉斯变换。我们曾将拉普拉斯空间中的函数 $g(s)$（$s$ 为拉普拉斯空间变量）数值逆变换为普通空间中的 $G(v)$（$v$ 为普通空间变量）。此后我们发现，若 $g(s)\rightarrow 0$ 的衰减速度慢于 $1/s$（当 $s\rightarrow\infty$ 时），例如以 $1/s^\beta$（$0<\beta<1$）的形式衰减，则该算法失效。本文针对此类情形推导出一种新的数值算法，适用于所有正 $\beta$ 值及非整数负 $\beta$ 值。若原函数 $G(v)$ 由幂函数 $v^{\beta-1}$ 与 $v$ 的多项式之积给出，则该新算法是{\em 精确的}。我们对极小的正 $\beta$（$\beta=10^{-6}$）进行了数值测试，得到了模拟狄拉克 $\delta$ 函数 $\delta(v)$ 的数值结果。我们还将已发表的 MSTW2008LO 胶子分布从虚度 $Q^2=5$ GeV$^2$ 向下演化至较低虚度 $Q^2=1.69$ GeV$^2$。在向下演化中，$\beta$ 为负值，所产生的逆拉普拉斯变换是分布而非正常函数。这要求我们引入阿达马有限部分积分的概念，我们将对此进行详细讨论。