盲逆问题的 Morse-Bott 框架：局部恢复保证与 MAP 的失效

最大后验概率(MAP)估计是盲逆问题的基石框架，其中图像和正向算子被联合估计为后验分布的最大化器。在本文中，我们采用 Morse-Bott 框架分析基于 MAP 方法的恢复保证。我们将图像先验势能建模为 Morse-Bott 函数，其中自然图像被建模为局部位于临界子流形上。这意味着势能沿图像流形的自然方向是局部平坦的，而在垂直于它的方向上是严格凸的。我们证明，这一 Morse-Bott 假设与最先进的学习先验的结构特性相一致，我们通过对势能景观及其 Hessian 谱的实验分析验证了这一发现。我们的理论结果表明，在真实图像和算子的邻域内，后验分布存在局部最小化器，这些最小化器在初始化方面（梯度步收敛到同一最小化器）和微小噪声扰动方面（解平滑变化）均具有稳定性。这种局部稳定性解释了在这些设置中设计良好的基于梯度的优化的经验成功。然而，我们也证明了这种稳定性是一种局部性质：在盲反卷积中因稀疏先验而众所周知的模糊陷阱，即使在使用最先进的学习先验时依然存在。我们的发现表明，MAP 在盲反卷积中的失效并非先验质量的限制，而是景观的固有特征。我们得出结论，后验最大化的成功恢复依赖于在有利局部极小值盆地内的策略性初始化，我们通过在合成和真实数据上的数值实验验证了这一点。