基于均曲率的边界检测方法：几何视角下的无监督学习

在存在非线性结构和异质密度的情况下，准确检测高维数据中的边界仍是无监督学习中的核心挑战。本文中，我们引入 Mean Curvature Boundary Points (MCBP)，一种基于几何机器学习的新型几何框架，区别于传统的基于密度的方法，通过显式建模数据流形的内在曲率来实现。该方法依赖于从局部 k-最近邻块上估计的离散形状算子，以计算无需显式流形参数化的点均曲率。MCBP 的关键洞见在于将均曲率作为边界结构的原则性描述：高曲率区域自然对应于簇之间的转换、几何不规则区域和低密度界面。这导致边界、异常值和过渡点的统一几何解释。我们进一步引入一种自适应百分位阈值方案，实现无需依赖经验密度参数的多尺度边界提取。除检测外，我们提出一种曲率驱动的数据分解方法，将样本分为光滑（低曲率）和边界（高曲率）子集，有效地充当非线性几何滤波机制。该表示提高了聚类可分性并增强了下游无监督算法的鲁棒性。大量实验在合成数据和真实数据集上表明，MCBP 在复杂和高维情景中一致性地提高了聚类性能。这些结果将 MCBP 定位为几何机器学习的具体贡献，凸显了基于曲率感知分析的潜力作为一种统一的范式，连接微分几何与数据驱动建模。