支付通道网络的数学理论

我们引入了一种以可行财富分布多面体 $W_G$ 为中心的支付通道网络几何理论；流动性状态 $L_G$ 通过严格环流投影到 $W_G$ 上。当且仅当转账后的财富保持在 $W_G$ 内时，支付才是可行的。这产生了一个简单的吞吐量定律：如果 $\zeta$ 是链上结算带宽，$\rho$ 是不可行支付的预期比例，则可持续的链下带宽满足 $S = \zeta / \rho$。可行性允许一种割区间视角：对于任何节点集 S，S 的财富必须位于一个宽度等于割容量 $C(\delta(S))$ 的区间内。利用这一点，我们展示了多方通道（资金池/通道工厂）如何扩展 $W_G$。将 k 方通道建模为 k 均匀超边会在期望意义上加宽每个割，因此 $W_G$ 随 k 单调增长；对于单个节点，预期可获取财富与 $k/n$ 呈线性比例关系。我们还分析了枯竭问题。在线性、非对称费用下，财富纤维内的成本最小化流将循环推向边界，通常会耗尽通道，仅留下残余生成森林。由此得出三个缓解杠杆： 方向上的对称费用， 凸/分级费用（有效的流量控制，但与无流动性披露的源路由相矛盾），以及 协调补充（在纤维内选择最优环流）。总之，这些结果解释了为何双方网状网络难以扩展，以及为何多方原语更具资本效率，从而产生更高的预期支付带宽。它们还展示了费用设计和协调如何将操作保持在可行区域内，从而提高可靠性。