概率标量场中临界点空间不确定性的数学基础

临界点标记了标量函数水平集拓扑发生根本变化的区域中的位置，因而指示数据中潜在有趣的特征。已有成熟方法可在确定性设定下定位并关联此类点，但临界点的概念如何推广到不确定数据分析仍知之甚少。针对该任务的大多数方法旨在寻找临界点的可能位置或局部估计其出现概率，却不指示随机过程不同实现中潜在不同位置的临界点是否为同一特征的体现，而刻画临界点空间不确定性正需要这一点。先前关于跨不同实现关联临界点的工作报道了解释所得临界点空间分布的困难，但未探究原因。本文中，我们给出寻找具空间不确定性的临界点并计算其空间分布这一问题的数学表述，由此引出不确定临界点的概念。我们分析了这些结构的理论性质，并阐明其与针对特殊不确定场类的已有工作的联系。我们推导出可获得良好可解释结果的条件，并讨论这些限制对可视化领域的意义。我们证明所讨论的局限性并非纯学术性的，也出现在真实世界数据中。