湍流级联与分数场的线性随机模型

湍流级联刻画了由大尺度随机力注入的能量向小尺度的传递。在流体动力学湍流中，当雷诺数很大时，流体的速度场变得不规则，且即使流体粘性趋于零，能量耗散率仍保持有下界。自 Kolmogorov 在流体动力学湍流与 Zakharov 在波湍流中的开创性工作以来，湍流级联的数学描述一直是非常活跃的研究课题。在这两种情形下，这些湍流级联机制意味着若干统计量的幂律行为，例如功率谱密度。长期以来，这些级联被认为与非线性相互作用相关，但近期工作表明它们也可发生在由零阶微分算子控制的线性方程所支配的动力学中。本着这一精神，我们构造了一个线性方程，当外力为统计均匀且平稳的随机过程时，它模拟能量级联的现象学。在 Fourier 变量中，该方程可视为一个线性输运方程，对应于物理空间中的零阶算子。我们的结果给出了解的完整刻画：它在任意有限时间内光滑，且除低阶修正外，在无穷时间收敛到一个分数 Gaussian 场。