关于秩一修正下子空间更新与正交矩阵分解的几何注记

本文考虑给定矩阵 $X\in \mathbb{R}^{n\times p}$ 的秩一修正 $X_{new} = X+ab^T$，其中已知矩阵分解 $X = UW$，$U\in\mathbb{R}^{n\times p}$ 为列正交矩阵，即 $U^TU=I$。 arguably 产生此类分解的最重要方法是奇异值分解（SVD），其中 $X=UW=U\Sigma V^T$，以及 QR 分解，其中 $X = UW = QR$。一种构造列正交矩阵 $U_{new}$ 的基本方法，使其列张成与秩一修正后 $X_{new} = X +ab^T$ 的列相同的子空间，是通过施加适当的坐标变换，使得在新坐标下更新仅影响单列，随后执行 Gram-Schmidt 步骤以重新正交化。这可分别解释为 SVD 中 $U$ 因子或 QR 分解中 $Q$ 因子的秩一修正，并导出修正矩阵 $X_{new} = U_{new}W_{new}$ 的分解。利用几何方法，我们证明该操作等价于在 Grassmann 流形上沿测地线从子空间 $\mathcal{S}= \text{ran}(X)$ 行进至子空间 $\mathcal{S}_{new} =\text{ran}(X_{new})$，并推导出该测地线的闭式表达式。此外，这使我们能够在无需额外计算代价的情况下确定子空间 $\mathcal{S}$ 与 $\mathcal{S}_{new}$ 之间的子空间距离。对于 $n\gg p$，$U_{new}$ 与 $W_{new}$ 均通过基本的秩一矩阵更新在 $\mathcal{O}(np)$ 时间内获得。