一个通用的量子 Wielandt 不等式

量子 Wielandt 不等式给出了生成系统元素的长度-$k$ 乘积张成 $M_n(\mathbb{C})$ 时最小长度 $k$ 的最优上界。据猜想，一般情况下 $k$ 应为 $\mathcal{O}(n^2)$ 量级。在本文中，我们概述了该问题迄今在文献中的研究状况及其与线性代数中一个经典问题（即代数 $M_n(\mathbb{C})$ 的长度）的关系。我们给出了量子 Wielandt 不等式的一个通用版本，它以概率一给出最优长度。更具体地，基于 [KS16] 我们证明，与一般情形（迄今最佳界为 $\mathcal O(n^2 \log n)$）相反，$k$ 在通用意义下为 $\Theta(\log n)$ 量级。我们的结果给出了随机量子信道本原指数一个新的界。此外，我们通过得出结论：在边长为 $\Omega( \log n )$ 量级的网格上，几乎任意具有周期边界条件的平移不变 PEPS（特别地，矩阵乘积态）是局域哈密顿量的唯一基态，从而为一个长期悬而未决的投影纠缠对态问题提供了新见解。我们观察到矩阵李代数具有类似特征，并给出了随机李生成系统的数值结果。