标号树的广义计数与逆 Prüfer 算法

树 $T$ 在 $[n]$ 上的 {\em 首领} 是在 $T$ 中没有更小后裔的顶点。Gessel 与 Seo 证明了 \sum_{T \in \mathcal{T}_n}u^\text{(# of leaders in $T$)} c^\text{(degree of 1 in $T$)}=u P_{n-1}(1,u,cu), 这是 Cayley 公式的推广，其中 $\mathcal{T}_n$ 是 $[n]$ 上树的集合且 $$P_n(a,b,c)=c\prod_{i=1}^{n-1}(ia+(n-i)b+c).$$ 利用称为 {\em RP-码} 的 Prüfer 码变体，我们给出 Gessel 与 Seo 公式的一个简单双射证明。