信息与计算的一般理论

本文填补了我们对信息与计算之间相互作用理解的一个空白。它统一了诸如Kolmogorov复杂度和Shannon信息等其他测量信息的方法。我们基于三个基本观察定义了关于确定性计算中信息流的理论：1）信息以对数度量；2）所有可数集包含相同数量的信息；3）确定性计算不创造信息。我们分析了信息通过计算过程的流动：对于原始递归函数和基本算术运算是精确的，而在最大熵下，对于多项式函数和丢番图方程也是确定的。因此，通过MRDP定理，我们得到了一般可计算函数的信息流理论。我们证明了一些结果，如Fueter-P\'olya猜想以及所有有限数集的信息守恒枚举的存在性。我们还表明，在原始递归函数的更复杂导数（如加法和乘法）中，信息流并非微不足道：特别是结合律对加法而言不是信息高效的。利用Cantor配对函数，我们开发了一种用于有限数集集合划分的通用测量装置。我们表明，当按基数排序时，这些集合可以由多项式函数枚举，但按其总和排序时则不能。