寻找 $\mathbb{Q}(\zeta_{p^s})$ 主理想短生成元的快速算法

我们提出了一种启发式算法，用于计算理想类群以及 $\mathbb{Q}(\zeta_{p^s})$ 中主理想的生成元，其时间复杂度为 $2^{O(n^{1/2+\varepsilon})}$，其中 $n:= \text{deg}(K)$ 且 $\varepsilon$ 任意小。这对依赖于寻找主理想短生成元困难性的方案构成了攻击，例如 Vercauteren 和 Smart 的同态加密方案，以及 Garg、Gentry 和 Halevi 的多线性映射。我们依赖于 Cramer、Ducas、Peikert 和 Regev 的工作。他们证明了寻找短生成元可以多项式时间归约为寻找任意生成元。该复杂度优于依赖 Biasse 和 Fieker 关于主理想问题 (PIP) 的工作，后者产生的攻击时间复杂度为 $2^{n^{2/3+\varepsilon}}$（$\varepsilon >0$ 任意小）。$\textbf{自 2016 年 9 月 30 日起}$ 我们展示了对其方法的实际改进。此外，我们描述了一种变体，可在一次性预计算成本为 $2^{O(n^{2-3c+\varepsilon})}$（$\varepsilon$ 任意小）的前提下，在时间 $2^{O\left(n^{c+o(1)}\right)}$ 内解决范数小于 $2^{n^b}$ 的输入理想 $I$ 上的 PIP 问题，其中 $2/5 < c < 1/2$ 且 $b\leq 7c -2$。这也解决了 $\mathbb{Q}(\zeta_{p^s})$ 主理想中 $\gamma \in e^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$ 的 $\gamma$-SVP 问题。对于范数小于 $2^{n^b}$ 的主理想，我们可以利用预计算实现比 BKZ 算法更好的渐近运行时间。