一种用于极高维半线性抛物型偏微分方程的无导数局部化随机方法
数值分析
2025-10-14 v2 数值分析
摘要
我们发展了一种无网格、无导数、无矩阵且高度并行的局部化随机方法，用于求解高维半线性抛物型偏微分方程。所提方法的效率建立在四个核心要素之上：(i) 正倒向随机微分方程(FBSDE)的鞅表述；(ii) 用于局部线性回归(LLR)的小尺度随机粒子方法；(iii) 用于计算∇u的加权最小二乘系统的解耦策略与无矩阵求解器；(iv) 用于求解u中一元非线性系统的牛顿迭代。与依赖全局信息的传统确定性方法不同，这种局部化计算方案不仅提供了u和∇u的显式逐点评估，更重要的是天然适合粒子间的并行化。此外，该算法避免了经典确定性方法所需的空间网格和全局基函数，以及机器学习中常见的依赖导数和耗时的训练过程。更重要的是，我们严格分析了所提方案的误差界，该误差界在粒子数M和时间步长Δt上完全显式。在d=100到d=10000的问题维度上进行的数值结果始终验证了所提方法的效率和准确性。值得注意的是，所有计算均在标准个人计算机上高效完成，无需任何专用硬件。这些结果证实，所提方法建立在合理的设计之上，不仅拓展了超高层偏微分方程的实际可解范围，而且保持了严格的误差控制和易于实现的特点。
引用
@article{arxiv.2510.02635,
title = {A derivative-free localized stochastic method for very high-dimensional semilinear parabolic PDEs},
author = {Shuixin Fang and Changtao Sheng and Bihao Su and Tao Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.02635},
year = {2025}
}
备注
29 pages; 10 figures