面向变域PDE求解映射的变形基框架
数值分析
2025-08-25 v2 机器学习
数值分析
摘要
本文建立了一个用于学习定义于变动域上的 PDE 求解映射的变形基框架。可定义于变动域上的函数集合根据变形可被识别为度量空间，随后求解映射可被视为连续的度量-至-度量映射，进而可通过两种不同策略表示为连续的度量-至-巴拿赫映射，分别称为 D2D 子框架和 D2E 子框架。我们指出，这种度量-至-巴拿赫映射可通过神经网络来学习，从而相应地学习求解映射。借助此框架，我们为学习变动域上 PDE 求解映射的问题构建了严格的收敛分析。由于该理论框架基于若干关键假设，这些假设需要针对特定问题进行验证，我们以星形域作为典型例子进行研究，其他情况也可类似地验证。该框架具有三个重要特征：(1) 在考虑中的域不必是微分同胚的，因此只要它们是同胚，就可以由一个模型覆盖广泛的区域。(2) 变形映射无需连续，从而可以通过结合主身份映射和局部变形映射来灵活建立。这一能力促进了大规模系统的解决，其中仅几何的局部部分发生变化。(3) 如果采用保持线性性的神经算子（如 MIONet），则该框架仍保留所需项关于线性 PDE 的源项的线性性，从而可用于混合迭代方法。我们最终 presenting several numerical experiments to validate our theoretical results.
引用
@article{arxiv.2412.01379,
title = {A deformation-based framework for learning solution mappings of PDEs defined on varying domains},
author = {Shanshan Xiao and Pengzhan Jin and Yifa Tang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.01379},
year = {2025}
}