关于奇偶杀死数的一个组合定理

在本工作中，我们研究了奇偶复杂度度量 ${\mathsf{C}^{\oplus}_{\min}}[f]$ 和 ${\mathsf{DT^{\oplus}}}[f]$。${\mathsf{C}^{\oplus}_{\min}}[f]$ 是 $f$ 的\emph{奇偶杀死数} (parity kill number)，即为了使 $f$“失效”（即使其变为常数）所必须固定的输入变量上的最少奇偶校验数量。${\mathsf{DT^{\oplus}}}[f]$ 是计算 $f$ 的最短\emph{奇偶决策树}的深度。近年来，这些复杂度度量在通信复杂性 \cite{ZS09, MO09, ZS10, TWXZ13} 和伪随机性 \cite{BK12, Sha11, CT13} 领域变得越来越重要。我们的主要结果是关于 ${\mathsf{C}^{\oplus}_{\min}}$ 的一个组合定理。$f$ 的 $k$ 次幂（记为 $f^{\circ k}$）是将 $f$ 与自身复合 $k$ 次所得的函数。我们证明，如果 $f$ 不是奇偶函数，则 ${\mathsf{C}^{\oplus}_{\min}}[f^{\circ k}] \geq \Omega({\mathsf{C}_{\min}}[f]^{k})$。换言之，$f$ 的奇偶杀死数本质上关于 $f$ 的\emph{普通}杀死数（也称为最小证书复杂度）是超乘性的。作为我们组合定理的一个应用，我们展示了 $\mathsf{Sort}^{\circ k}$ 和 $\mathsf{HI}^{\circ k}$ 的奇偶复杂度度量的下界。此处 $\mathsf{Sort}$ 是 Ambainis 提出的排序函数 \cite{Amb06}，$\mathsf{HI}$ 是 Kushilevitz 的半二十面体函数 \cite{NW95}。在此过程中，我们反驳了 Montanaro 和 Osborne 的一个猜想 \cite{MO09}，该猜想曾应用于通信复杂性和计算学习理论。此外，我们为 \cite{MO09,ZS10} 和 \cite{TWXZ13} 中的猜想提供了新的下界。