基于优化的均值滤波中保持整体凸性的一类非凸惩罚

$\ell_1$ 均值滤波是一种常规的基于优化的方法，用于估计被加性噪声扰动的分段常数信号中跳变的位置。在该方法中，$\ell_1$ 范数惩罚信号一阶导数的稀疏性。然而，理论结果表明，在一些实践中频繁出现的情况下，即使跳变幅度趋于 $\infty$，常规方法也会识别错误的变点。此问题被称为阶梯效应问题（stair-casing problem），限制了 $\ell_1$ 均值滤波的实际重要性。本文中，通过利用某类非凸函数，比 $\ell_1$ 范数更紧密地惩罚稀疏性，同时保持后续优化问题的严格凸性。这带来了变化点检测性能的提高。为从理论上证明相对于 $\ell_1$ 均值滤波的性能改进，推导了精确变点恢复的决定性与随机充分必要条件。特别地，理论结果表明，在阶梯效应问题中，我们的方法可能能够排除错误变点，而 $\ell_1$ 均值滤波可能失败。大量数值模拟辅助显示了我们的方法相对于 $\ell_1$ 均值滤波以及另一种比 $\ell_1$ 范数更紧促进稀疏性的最先进算法的优越性。具体而言，研究表明当跳变幅度足够大时，我们的方法能一致地检测变点，而另外两个竞争者不能。