无长奇环图的着色问题

一个「孔」是长度至少为 4 的诱导环，长度为 k 的「k-孔」是长度为 k 的孔，「奇孔」是长度为奇数的孔。设 $\ell \ge 2$ 为整数。设 ${\cal A}_{\ell}$ 为 girth 至少为 $2\ell$ 且不存在长度为至少 $2\ell+3$ 的奇孔的图族，设 ${\cal B}_{\ell}$ 为无三角形且不存在 5-孔且不存在长度为至少 $2\ell+3$ 的奇孔的图族，设 ${\cal G}_{\ell}$ 为 girth 为 $2\ell+1$ 且不存在长度为至少 $2\ell+5$ 的奇孔的图族。Chudnovsky 等人 \cite{CSS2016} 证明了每个属于 ${\cal A}_{2}$ 的图是 58000 可着色的，每个属于 ${\cal B}_{\ell}$ 的图是 $(\ell+1)4^{\ell-1}$ 可着色的，Lan 和 liu \cite{LL2023} 证明了对于 $\ell \geq 3$，每个属于 ${\cal G}_{\ell}$ 的图是 4 可着色的。尚不知道是否存在常数 $c$ 使得 ${\cal G}_2$ 的图是 $c$ 可着色的。本文证明了每个属于 ${\cal G}_2$ 的图是 1456 可着色的，每个属于 ${\cal A}_{3}$ 的图是 4 可着色的。我们还证明了每个属于 ${\cal B}_{\ell}$ 且无 7-孔的图是 $(12\ell+8)$ 可着色的。