刻画通用全局刚性

一个 $d$ 维框架由一个图及其顶点到 $E^d$ 的映射组成。如果一个框架在刚体运动下是 $E^d$ 中具有相同图和边长的唯一框架，则称其为全局刚性。对于哪些底层图，通用框架是全局刚性的？我们通过证明 Connelly 的一个猜想来回答这个问题，即他的充分条件也是必要的：当且仅当一个通用框架拥有一个核维数为 $d+1$（最小可能值）的应力矩阵时，它才是全局刚性的。该条件的另一种形式源于对长度平方映射 $l$ 的几何考量：当且仅当 $l$ 的秩最大时，图是通用局部刚性的；当且仅当 $l$ 像上的高斯映射的秩最大时，图是通用全局刚性的。我们还表明，该条件可以通过随机算法高效检验，并证明如果一个图不是通用全局刚性的，那么它在高一个维度上是灵活的。