积分系统的一个中值定理

一个多世纪前,G. Kowalewski 指出:对于紧区间 $[a,b]$ 上的 $n$ 个连续函数,存在一个关于 $[a,b]$ 上 Lebesgue 测度的 $n$ 点求积公式,对给定函数是精确的。本文将该结果推广到任意正有限测度下任意区间上的连续函数。证明依赖于关于连续曲线的 Caratheodory 凸包定理的一个版本,本文中也给出了该定理的证明。作为应用,我们给出了随机变量两个连续函数协方差的一种表示,以及 Gruess 不等式的一个最一般形式。